Question

如圖1，在平面直角坐標系中，已知等腰△AOB頂點A的坐標是（2，1），AO=AB．
（1）求點B的坐標．

（2）過點B作BC⊥OA，交OA的延長線于點C，一等腰直角三角尺如圖2擺放，它的直角頂點為D，一條直角邊與AB邊重合，另一條直角邊恰好過點O．
①請你通過觀察，猜想OD與BC滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

②當三角尺沿AB方向平移到圖3所示的位置時，一條直角邊仍與AB重合，另一條直角邊交OB于點E，過E點作EF⊥OA于點F．請你猜想并證明EF，ED與BC之間滿足的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

解：（1）過A作AM⊥OB于M．
∵A的坐標是（2，1），
∴OM=2．
又∵AO=AB，
∴OB=4．
∴B的坐標是（4，0）．
（2）①OD=BC．
證明：在△ODA與△BCA中，
，
∴△ODA≌△BCA．（AAS）
∴OD=BC．
②DE+EF=BC．
方法一：連接AE．
S_△ABO=OA．BC，
S_△ABO=S_△ABE+S_△AEO
=AB．DE+OA．EF，
=OA（DE+EF），
∴DE+EF=BC．
方法二：過點E作EG⊥BC，G為垂足，交AB于點H．
再利用△DEH≌△GBH得到DE=BG．
分析：（1）欲求B點坐標，則求等腰三角形底邊OB的長度即可．過點A作底邊的垂線，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)解答；
（2）①DO=BC．根據(jù)“AAS”證明△AOD≌△ABC；
②DE+EF=BC．
證法一：借鑒①的思路，過點E作EG⊥BC于G點，交AB于H點．易得：△DEH≌△GBH，DE=BG；四邊形EFCG是矩形，
EF=CG．
證法二：運用“等積法”證明．連接AE，則S_△AOE+S_△ABE=S_△AOB．分別把AO、AB當作三角形的底邊，EF、DE、BC看作相應(yīng)的高表示面積求解．
點評：此題考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形全等的判定和性質(zhì)等知識點，綜合性較強．