Question

如圖，直線與y軸交于點(diǎn)A，與雙曲線在第一象限交于B、C兩點(diǎn)，且AB•AC=4，則k=    ．

Answer 1

【答案】分析：先求出直線與x軸和y軸的兩交點(diǎn)D與A的坐標(biāo)，根據(jù)OA與OD的長度求出比值即可得到角ADO的正切值，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出角ADO的度數(shù)，然后過B和C分別作y軸的垂線，分別交于E和F點(diǎn)，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理即可表示出EB與FC的積，然后在直角三角形AEB中利用cos∠ABE表示出EB與AB的關(guān)系，同理在直角三角形AFC中，利用cos∠ACF表示出FC與AC的關(guān)系，根據(jù)AB•AC=4列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．
解答：解：對直線方程，令y=0，得到x=b，即直線與x軸的交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（b，0），
令x=0，得到y(tǒng)=b，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，b），
∴OA=b，OD=b，
∵在Rt△AOD中，tan∠ADO==，
∴∠ADO=30°，即直線y=-+b與x軸的夾角為30°，
∵直線y=-x+b與雙曲線y=在第一象限交于點(diǎn)B、C兩點(diǎn)，
∴-x+b=，即-x²+bx-k=0，
由韋達(dá)定理得：x₁x₂==k，即EB•FC=k，
∵=cos30°=，
∴AB=EB，
同理可得：AC=FC，
∴AB•AC=（EB）（FC）=EB•FC=k=4，
解得：k=．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，同時考查了三角函數(shù)的知識，難度較大．