Question

16．已知，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），∠BAC=90°，AB=AC，∠DAE=90°，AD=AE，連接CE．
（l）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求證：①BD⊥CE，②CE=BC-CD；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)直接寫出CE、BC、CD三條線段之間的關(guān)系；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)O在線段BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，且點(diǎn)A、E分別在直線BC的兩側(cè)，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接AF、CF，其他條件不變，請(qǐng)判斷△ACF的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，只要證明△ABD≌△ACE，即可得到∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，由此可以證明．
（2）如圖2中，結(jié)論：CE=BC+CD，證明方法類似（1）．
（3）如圖3中，結(jié)論：△ACF是等腰三角形，只要證明△ABD≌△ACE，即可得到∠ABD=∠ACE以及∠DCE=90°，再利用直角三角形斜邊中線定理即可解決．

解答 （1）證明：如圖1中，∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，
∴∠ACB+∠ACE=90°
∴∠ECB=90°，
∴BD⊥CE，CE=BC-CD．
（2）如圖2中，結(jié)論：CE=BC+CD，理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∴CE=BC+CD．
（3）如圖3中，結(jié)論：△ACF是等腰三角形．理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ACE=∠ABD=135°，
∴∠DCE=90°，
又∵點(diǎn)F是DE中點(diǎn)，
∴AF=CF=$\frac{1}{2}$DE，
∴△ACF是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，屬于中考�？碱}型．