Question

如圖1，拋物線C₁：y=x²-3x-4與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸的負(fù)半軸相交于C點．

（1）如圖1，求：拋物線C₁頂點D的坐標(biāo)；
（2）如圖2，把拋物線C₁以1個單位長度/秒的速度向左平移得到拋物線C₂，同時△ABC以2個單位長度/秒的速度向下平移得到△A′B′C′，當(dāng)拋物線C₂的頂點D′落在△A′B′C′之內(nèi)時．設(shè)平移的時間為t秒．
①求t的取值范圍；
②若拋物線C₂與y軸相交于E點，是否存在這樣的t，使得∠A′EB′=90°？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把拋物線C₁：y=x²-3x-4轉(zhuǎn)化成頂點式即可．
（2）①由拋物線C₁：y=x²-3x-4可知A（-1，0），B（4，0），C（0，-4），求得BC所在的直線由y=x-4，則B′C′所在的直線y=x-4-2t，C′的頂點（

3

2

-t，-

25

4

）代入可得t的值

5

4

，同理可求得D′在A′C′的t值

15

8

，進(jìn)而求得t的取值．
②通過三角形相似求得EF的值，然后由D′（

3

2

-t，-

25

4

）求得拋物線C₂的解析式，求得E的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)EF的長，求得t的值，再與（1）中的取值比較來看解得．

解答：解：（1）拋物線C₁：y=x²-3x-4=（x-

3

2

）²-

25

4

，
∴D（

3

2

，-

25

4

）．


（2）如圖1、2
①∵拋物線C₁：y=x²-3x-4與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸的負(fù)半軸相交于C點．
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，-4），
則CM=

9

4

，DM=

3

2

，AN=

25

4

，DN=

5

2

；
∵

CM

2

=

9

8

＜

3

2

，

AN

2

=

25

8

＞

5

2

；
∴拋物線C₂的頂點D′經(jīng)過B′C′邊進(jìn)入△A′B′C′之內(nèi)，經(jīng)過A′C′邊移出△A′B′C′外；
∴BC所在的直線為；y=x-4，B′C′所在的直線為：y=x-4-2t，
∴D′（

3

2

-t，-

25

4

），
代入y=x-4-2t，
得（

3

2

-t）-4-2t=-

25

4

；
解得；t=

5

4

，
直線AC所在直線y=-4x-4，A′C′所在直線y=-4x-4-2t，
當(dāng)D′在直線A′C′上時，-4（

3

2

-t）-4-2t=-

25

4

；
解得t=

15

8

，
∴

5

4

＜t＜

15

8

．

②如圖2所示；記A′B′與y軸的交點為F，假設(shè)存在t使得∠A′EB′=90°，
∵∠A′FE=∠EFB′=90°，∠A′EF=∠EB′F；
∴△A′FE∽△EFB′，
∴

EF

B′F

=

A′F

EF

，
∴EF²=A′F•B′F=1×4=4，
∴EF=2，
∴拋物線C₂為y=（x+t-

3

2

）²-

25

4

=x²+2（t-

3

2

）x+（t-

3

2

）²-

25

4

，
∴E{0，（t-

3

2

）²-

25

4

}，
∴EF=-2t-（t-

3

2

）²+

25

4

=2，
解得：t₁=2，t₂=-1（舍去），
∵t=2＞

15

8

，
∴不存在這樣的t的值，使得∠A′EB′=90°．

點評：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)二次函數(shù)得出相關(guān)點的坐標(biāo)是解題的基礎(chǔ)．