Question

已知在△ADC中，∠ADC=90°，以CD為直徑作半圓O，交邊AC于點F，點B在CD的延長線上，連接BF，交AD于點E，∠BED=2∠C
（1）求證：BF是圓O切線
（2）若BF=FC，AE=，求圓O的半徑。

Answer 1

（1）連接DF、OF，OF=OC
∴∠DFC=90°,∠OFC=∠C
∵∠BED=∠AEF=∠EDF+∠EFD=2∠C
∴∠EFD=∠C=∠OFC
∵∠DFO+∠OFC=90°
∴∠EFD+∠DFO=90°
∴∠EFO=∠BFO=90°
即OF⊥BF
∴BF是圓O切線
（2）∵BF=FC
∴△BFC是等腰三角形
∴∠B=∠C
∵∠BED=2∠C，∠B+∠BED=∠ADB=∠ADC=90°
∴∠C+2∠C=90°∴∠C=30°
∴∠A=60°，∠AEF=∠BED=2∠C=60°
∴△AEF是等邊三角形
∴AE=EF=
∵AD和BF是圓的切線，即ED、EF是圓的切線
∴ED=EF=
∴AD=AE+ED=
∵在Rt△ADC中，∠C=30°
∴AC=2AD=2×2=4
∴CD²=AC²-AD²=(4)²-(2)²=36CD=6
∴圓O的半徑OC=OD=CD/2=3