Question

【題目】拋物線(xiàn)y=﹣ （x﹣1）2+3與y軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為B，對(duì)稱(chēng)軸BC與x軸交于點(diǎn)C．

（1）如圖1．求點(diǎn)A的坐標(biāo)及線(xiàn)段OC的長(zhǎng)；
（2）點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，直線(xiàn)PQ∥BC交x軸于點(diǎn)Q，連接BQ．
①若含45°角的直角三角板如圖2所示放置．其中，一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，直角頂點(diǎn)D在BQ上，另一個(gè)頂點(diǎn)E在PQ上．求直線(xiàn)BQ的函數(shù)解析式；
②若含30°角的直角三角板一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，直角頂點(diǎn)D在直線(xiàn)BQ上，另一個(gè)頂點(diǎn)E在PQ上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把x=0代入拋物線(xiàn)得：y= ，

∴點(diǎn)A（0， ）．

拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，

∴OC=1

（2）

解：①如圖：B（1，3）

分別過(guò)點(diǎn)D作DM⊥x軸于M，DN⊥PQ于點(diǎn)N，

∵PQ∥BC，

∴∠DMQ=∠DNQ=∠MQN=90°，

∴四邊形DMQN是矩形．

∵△CDE是等腰直角三角形，

∴DC=DE，∠CDM=∠EDN

即 ，

∴△CDM≌△EDN（AAS）

∴DM=DN，

∴矩形DMQN是正方形，

∴∠BQC=45°

∴CQ=CB=3

∴Q（4，0）

設(shè)BQ的解析式為：y=kx+b，

把B（1，3），Q（4，0）代入解析式得：k=﹣1，b=4．

所以直線(xiàn)BQ的解析式為：y=﹣x+4．

②當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，如圖：

過(guò)點(diǎn)D作DM⊥x軸于M，DN⊥PQ于N，

∵∠CDE=90°，∴∠CDM=∠EDN

∴△CDM∽△EDN

當(dāng)∠DCE=30°， =

又DN=MQ

∴ =

∴ = ，BC=3，CQ=

∴Q（1+ ，0）

∴P1（1+ ， ）

當(dāng)∠DCE=60°，點(diǎn)P2（1+3 ，﹣ ）．

當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的左邊時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性知：

P3（1﹣ ， ），P4（1﹣3 ，﹣ ）

綜上所述：P1（1+ ， ），P2（1+3 ，﹣ ），P3（1﹣ ， ），P4（1﹣3 ，﹣ ）．

【解析】（1）把x=0代入拋物線(xiàn)求出y的值確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，求出拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸得到OC的長(zhǎng)．（2）①由△CDE是等腰直角三角形，分別過(guò)點(diǎn)D作x軸和PQ的垂線(xiàn)，通過(guò)三角形全等得到∠DQO=45°，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出BQ的解析式．②分點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的左右兩邊討論，根據(jù)相似三角形先求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后代入拋物線(xiàn)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．