Question

如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，直線MN經(jīng)過點(diǎn)O，設(shè)銳角∠DOC=∠，將△DOC以直線MN為對稱軸翻折得到△D’OC’，直線A D’、B C’相交于點(diǎn)P．

（Ⅰ）當(dāng)四邊形ABCD是矩形時，如圖1，請猜想A D’、B C’的數(shù)量關(guān)系以及∠APB與∠α的大小關(guān)系；

（Ⅱ）當(dāng)四邊形ABCD是平行四邊形時，如圖2，（1）中的結(jié)論還成立嗎？

（Ⅲ）當(dāng)四邊形ABCD是等腰梯形時，如圖3，∠APB與∠α有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明．

 

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）A D’=B C’，∠APB=∠α．                     

（Ⅱ） A D’=B C’ 仍然成立，∠APB=∠α不一定成立． 

（Ⅲ）∠APB=180°-∠α．                    

證明：如圖3，設(shè)OC’，PD’交于點(diǎn)E．

∵ 將△DOC以直線MN為對稱軸翻折得到△D’OC’，

  ∴ △DOC≌△D’OC’，

∴ OD=OD’， OC=OC’，∠DOC=∠D’OC’．

∵ 四邊形ABCD是等腰梯形，

∴ AC=BD，AB=CD, ∠ABC= ∠DCB．

∵ BC=CB，

∴ △ABC≌△DCB．

∴ ∠DBC=∠ACB．

∴ OB=OC，OA=OD．

∵ ∠AOB= ∠COD=∠C’O D’，

∴ ∠BOC’ = ∠D’O A．

∵ OD’=OA，OC’=OB，

∴ △D’OC’≌△AOB，             

∴ ∠OD’C’= ∠OAB ．

∵ OD’=OA，OC’=OB，∠BOC’ = ∠D’O A，

∴ ∠OD’A = ∠OAD’=∠OBC’=∠OC’ B．

∵ ∠C’EP= ∠D’EO，

∴ ∠C’PE= ∠C’OD’=∠COD=∠α．

∵∠C’PE+∠APB=180°，

∴∠APB=180°-∠α．                          

【解析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)及角之間的關(guān)系證明△BOD′≌△AOC′，得出對應(yīng)邊對應(yīng)角相等，推理即可得出結(jié)論；

（2）先進(jìn)行假設(shè)，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形比例關(guān)系即可得出答案；

（3）易證△BOD′≌△C′OA，則AC′=BD′，∠OBD′=∠OC′A≠∠OAC′，從而得出∠AMB≠α．