Question

5．如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，交⊙O于點P，點B是⊙O上一點，連接BP并延長，交直線l于點C，使得AB=AC．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若PC=2，OA=3，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連結OB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、對頂角相等證明∠OBA=90°，根據(jù)切線的判定定理證明即可；
（2）作OH⊥PB于H，設⊙O的半徑為r，根據(jù)勾股定理分別表示出AC²和AB²，根據(jù)AB=AC列出方程，解方程即可．

解答 （1）證明：連結OB，如圖1，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵OA⊥AC，
∴∠ACB+∠APC=90°，
∵OB=OP，
∴∠OBP=∠OPB，
∵∠OPB=∠APC，
∴∠OBP+∠ACB=90°，
∴∠OBP+∠ABC=90°，即∠OBA=90°，
∴OB⊥AB，
∴AB是⊙O的切線；
（2）解：作OH⊥PB于H，如圖2，則BH=PH，
設⊙O的半徑為r，則PA=OA-OP=3-r，
在Rt△PAC中，AC²=PC²-PA²=2²-（3-r）²，
在Rt△OAB中，AB²=OA²-OB²=3²-r²，
又∵AB=AC，
∴（2）²-（3-r）²=3²-r²，
解得r=1，
即⊙O的半徑為1．

點評 本題考查的是切線的判定、勾股定理的應用、垂徑定理的應用，正確作出輔助線、掌握經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關鍵．