Question

25、已知：如圖1，在邊長為5的正方形ABCD中，點E、F分別是BC、DC邊上的點，且AE⊥EF，BE=2．
（1）求EC：CF的值；
（2）延長EF交正方形外角平分線CP于點P（圖2），試判斷AE與EP的大小關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由正方形的性質可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可證得：∠1=∠2，即可證得：△ABE∽△EFC，又由相似三角形的對應邊成比例，即可求得EC：CF的值；
（2）首先作輔助線：在AB上取一點M，使AM=EC，連接ME，利用ASA，易證得：△AME≌△PCE，則可證得：AE=EP．

解答：解：（1）∵AE⊥EF，
∴∠2+∠3=90°，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠1=∠2，
∴△ABE∽△ECF，
∴EC：CF=AB：BE=5：2；

（2）在AB上取一點M，使BM=BE，連接ME．
∴AM=CE．
∴∠BME=45°，
∴∠AME=135°．
∵CP是外角平分線，
∴∠DCP=45°，
∴∠ECP=135°．
∴∠AME=∠ECP．
∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF．
∴△AME≌△PCE（ASA）．
∴AE=EP．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質以及正方形的性質等知識．此題綜合性很強，圖形比較復雜，解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用與輔助線的準確選擇．