Question

如圖已知二次函數(shù)圖象的頂點為原點，直線的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于A點（8，8），直線與x軸的交點為C，與y軸的交點為B．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式與B點坐標；
（2）P為線段AB上的一個動點（點P與A，B不重合），過P作x軸的垂線與這個二次函數(shù)的圖象交于D點，與x軸交于點E．設線段PD的長為h，點P的橫坐標為t，求h與t之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，在線段AB上是否存在點P，使得以點P、D、B為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設二次函數(shù)的解析式為y=ax²，把A點（8，8）代入y=ax²即可求出這個二次函數(shù)的解析式，根據(jù)直線與y軸的交點橫坐標為0即可求出B點坐標為；
（2）設P點在上且橫坐標為t，得出P點的坐標為（t，t+4），根據(jù)PD⊥x軸于E，用t表示出D和E的坐標，再根據(jù)PD=h，求出h=-x²+t+4，最后根據(jù)P與AB不重合且在AB上，得出t的取值范圍；
（3）先過點B作BF⊥PD于F，得出PF=t+4-4=t，BF=t，再根據(jù)勾股定理得出PB和BC的值，再假設△PBO∽△BOC，得出=，即可求出t₁和t₂的值，從而求出P點的坐標；
解答：解：（1）設此二次函數(shù)的解析式為y=ax²，
∵A點（8，8）在二次函數(shù)y=ax²上，
∴8=a×8²，
∴a=，
∴y=x²，
∵直線與y軸的交點為B，
∴B點坐標為：（0，4）．

（2）P點在上且橫坐標為t，
∴P（t，t+4），
∵PD⊥x軸于E，
∴D（t，t²），E（t，0），
∵PD=h，
∴t+4-x²=h，
∴h=-x²+t+4，
∵P與AB不重合且在AB上，
∴0＜t＜8．
（3）存在，
（1）當BD⊥PE時，
△PBD∽△BCO，
∵=，
∴=，
∴h=t，
∴-x²+t+4=t，
x=4或x=-4（舍去）
∴P點的縱坐標是：×4+4=2+4，
∴此時P點的坐標是；（4，2+4）

（2）當DB⊥PC時，
△PBD∽△BCO，
過點B作BF⊥PD，
則F（t，4），
∴PF=t+4-4=t，
BF=t，
根據(jù)勾股定理得：
PB==t，
BC===4
假設△PBO∽△BOC，
則有=，
∴=，
解得：t₁=-8+4，t₂=-8-4（不合題意舍去），
∴t+4=×（-8+4）+4=2，
∴P（-8+4，2）．
點評：此題考查了二次函數(shù)的綜合；在解題時要能靈運用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出二次函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是本題的關鍵．