Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在線段DA、BA的延長(zhǎng)線上，且BD=BN=DM，連接BM、DN并延長(zhǎng)交于點(diǎn)P．
（1）求證：∠P=90°-

1

2

∠C；
（2）當(dāng)∠C=90°，ND=NP時(shí)，判斷線段MP與AM的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）首先過(guò)點(diǎn)B作BF⊥PD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BP于點(diǎn)G，BF與DG交于點(diǎn)H，由BD=BN=DM，可得BF與DG是∠DBN、∠MDB的平分線，又由四邊形內(nèi)角和為360°，可得∠P+∠FHG=180°，繼而可得∠DHB=∠FHG=180°-∠P=90°+

1

2

∠C，則可證得結(jié)論；
（2）首先過(guò)點(diǎn)P作PS⊥CD于點(diǎn)S，PR⊥BC于點(diǎn)R，易證得△PKD≌△PSD（AAS），同理：△PKD≌△PRB，然后延長(zhǎng)BN交QS于點(diǎn)Q，則Q為PS的中點(diǎn)，設(shè)QS=PQ=x，即可求得答案．

解答：（1）證明：過(guò)點(diǎn)B作BF⊥PD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BP于點(diǎn)G，BF與DG交于點(diǎn)H，
∵BD=BN=DM，
∴BF與DG是∠DBN、∠MDB的平分線，
∴由四邊形內(nèi)角和為360°，可得∠P+∠FHG=180°，
∵∠DHB=180°-（∠GDB+∠FBD）=180°-

1

2

（180°-∠DAB）=90°+

1

2

∠DAB，
∴∠DHB=∠FHG=180°-∠P=90°+

1

2

∠C，
∴∠P=90°-

1

2

∠C；

（2）MP：AM=

5

：2．
理由：過(guò)點(diǎn)P作PS⊥CD于點(diǎn)S，PR⊥BC于點(diǎn)R，
當(dāng)∠C=90°時(shí)，則∠DPB=45°，
∵BN∥CD，
∴∠BND=∠BDN=∠SDN，
同理：∠PBD=∠PBR，
作PK⊥BC于點(diǎn)K，
在△PKD和△PSD中，

∠S=∠PKD=90° ∠PDS=∠PDK PD=PD

，
∴△PKD≌△PSD（AAS），
同理：△PKD≌△PRB，
∴PS=PR，
∴四邊形PSCR是正方形，
延長(zhǎng)BN交QS于點(diǎn)Q，則Q為PS的中點(diǎn)，
設(shè)QS=PQ=x，
則PS=CS=RC=2x，RB=DB=x，
設(shè)SD=m，BD=x+m，
則（x+m）²=x²+（2x-m）²，
∴m：x=2：3，
∴PB=

5

x，PM=

5

3

x，AM=

2

3

x，
∴MP：AM=

5

：2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度很大，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．