Question

11．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6cm，AB=8cm，BC=14cm．動(dòng)點(diǎn)P、Q都從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿C→B方向做勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿C→D→A方向做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、Q其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)P以1cm/s速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以2$\sqrt{2}$cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，連接BQ、PQ．當(dāng)時(shí)間t為2秒時(shí)，△BQP的面積為24cm²．

Answer 1

分析 由于點(diǎn)P在線段CB上運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)Q沿C→D→A方向做勻速運(yùn)動(dòng)，所以分兩種情況討論：①點(diǎn)Q在CD上；②點(diǎn)Q在DA上．針對(duì)每一種情況，都可以過Q點(diǎn)作QG⊥BC于G．由于點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），可用含t的代數(shù)式分別表示BP、QG的長度，然后根據(jù)三角形的面積公式列出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍，根據(jù)面積為24cm²，列出方程，解方程并結(jié)合t的范圍取舍．

解答 解：如圖1，過D點(diǎn)作DH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，

則有DH=AB=8cm，BH=AD=6cm．
∴CH=BC-BH=14-6=8cm．
在Rt△DCH中，∠DHC=90°，
∴CD=$\sqrt{D{H}^{2}+C{H}^{2}}$=8$\sqrt{2}$cm．
當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），則PC=t．
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)Q在CD上時(shí)，過Q點(diǎn)作QG⊥BC，垂足為點(diǎn)G，則QC=2$\sqrt{2}$t．
又∵DH=HC，DH⊥BC，
∴∠C=45°．
∴在Rt△QCG中，QG=QC•sin∠C=2$\sqrt{2}$t×sin45°=2t．
又∵BP=BC-PC=14-t，
∴S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BP×QG=$\frac{1}{2}$（14-t）×2t=14t-t²．
當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)所需要的時(shí)間t=$\frac{CD}{2\sqrt{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$=4．
∴S=14t-t²（0＜t≤4），
當(dāng)S=24時(shí)，14t-t²=24，
解得：t₁=2，t₂=12（舍）．
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在DA上時(shí)，過Q點(diǎn)作QG⊥BC，垂足為點(diǎn)G，

則：QG=AB=8cm，BP=BC-PC=14-t，
∴S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BP×QG=$\frac{1}{2}$（14-t）×8=56-4t．
當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)所需要的時(shí)間t=$\frac{CD+AD}{2\sqrt{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}+6}{2\sqrt{2}}$=4+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴S=56-4t（4＜t≤4+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$），
當(dāng)S=24時(shí)，56-4t=24，
解得：t=8＞4+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，舍去，
綜上，當(dāng)t=2時(shí)，S=24，
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)點(diǎn)與圖形面積問題，需要通過題目的條件，分類討論是關(guān)鍵．