Question

如圖，O為坐標(biāo)原點，P（m，n）（m＞0）是函數(shù)（k＞0）的圖象上的一點，過點P作直線PA⊥OP于P，直線PA與x軸的正半軸交于點A（a，0）（a＞m），△OPA的面積為S，且．
（1）當(dāng)n=1時，求點A的坐標(biāo)；
（2）若OP=AP，求k的值；
（3）若已知k=2，請問OP²是否有最小值？若有，請求出OP²的最小值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

解：（1）n=1時，S=an=a=，
所以a=，
所以A（，0）．

（2）∵OP=AP，∠OPA=90°，
∴△OPA為等腰直角三角形．
∴OA=2n，m=n，
∴S=2nn=n²，
∴n²=1+，
∵mn=k，
∴n²=k，
得k=1+，
k²-4k+4=0，
∴k=2；

（3）∵n=，
∴OP²=m²+n²=m²+
=．
當(dāng)m-=0時，OP²有最小值，最小值是4．
分析：（1）當(dāng)n=1時，根據(jù)三角形的面積即可求得a的值，從而寫出點A的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到m=n，OA=2n．再根據(jù)三角形的面積得到關(guān)于k的方程，求解；
（3）根據(jù)k=2，得n=，再根據(jù)勾股定理用m表示OP²，利用配方法求得其最小值．
點評：此題綜合考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式、勾股定理以及配方法．