Question

如圖，?ABCD的面積等于1，F(xiàn)是BC上一點，AC與DF交于E，已知△CEF的面積為

1

40

．求

BF

FC

的值．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,平行四邊形的性質

專題：

分析：過E的作GH⊥BC，交AD于G，交BC于H，則GH⊥AD，設GH=h，EH=h₁，根據(jù)△ADE∽△CEF可知AD：FC=（h-h₁）：h₁，然后根據(jù)已知條件求得

BC

FC

=

20h1

h

，結合這兩個式子得出；h²-hh₁-20h₁ ²=0，從而求得h與h₁ 的關系，即可求得．

解答：
解：過E的作GH⊥BC，交AD于G，交BC于H，則GH⊥AD，設GH=h，EH=h₁，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△CEF，
∴AD：FC=（h-h₁）：h₁，
∵S_△ABC=

1

2

BC•h=

1

2

，S_△EFC=

1

2

FC•h₁=

1

40

，
∴

BC•h

FC•h1

=

1 2

1 40

=20，
∴

BC

FC

=

20h1

h

，
∵BC=AD，
∴

20h1

h

=

h-h1

h1

，
整理得；h²-hh₁-20h₁ ²=0，
解得：h=5h₁，h=-4h₁ （舍去），
∴

AD

FC

=

h-h1

h1

=

5h1-h1

h1

=

4

1

，
 即

BC

FC

=

4

1

，
∴

BF

FC

=

3

1

．

點評：本題考查了相似三角形對應高的比等于相似比，樹立數(shù)形結合的思想，通過面積公式轉化成方程來解決問題．