Question

如圖，在△ABC中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，且BA=CM，BN=CA，
 （1）求證：△CAN≌△CMA；
 （2）試探索AN與AM有何關(guān)系．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）由CF垂直于AB，BE垂直于AC，得到一對直角相等，再由對應角相等得到三角形BFM與三角形CME相似，利用相似三角形對應角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，且AB=CM，利用AAS得到三角形ABE與三角形MCE全等，利用全等三角形對應邊相等得到AE=ME，BE=CE，進而得到AE=NE，根據(jù)AE=ME=NE，且AE垂直于MN，得到三角形AMN為等腰直角三角形，且AC為角平分線，利用角平分線定義得到一對角相等，利用SAS得到三角形ACM與三角形ACN全等；
（2）AN與AM相等且垂直，理由為：由CF垂直于AB，BE垂直于AC，得到一對直角相等，再由對應角相等得到三角形BFM與三角形CME相似，利用相似三角形對應角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，且AB=CM，利用AAS得到三角形ABE與三角形MCE全等，利用全等三角形對應邊相等得到AE=ME，BE=CE，進而得到AE=NE，根據(jù)AE=ME=NE，且AE垂直于MN．

解答：（1）證明：∵∠BFM=∠CEM=90°，∠FMB=∠EMC，
∴△BMF∽△CME，
∴∠ABE=∠MCE，
在△ABE和△MCE中，

∠AEB=∠MEC=90° ∠ABE=∠MCE AB=CM

，
∴△ABE≌△MCE（AAS），
∴BE=CE，AE=EM，
∵BN=AC，
∴BN-BE=AC-CE，即AE=NE，
∴AE=ME=NE，
∴△AME和△ANE都為等腰直角三角形，
∴△MAN為等腰直角三角形，且∠MAC=∠NAC=45°，
∴AM=AN，MA⊥NA，
連接CN，
在△AMC和△ANC中，

AM=AN ∠MAC=∠NAC AC=AC

，
∴△AMC≌△ANC（SAS）；
（2）解：AN與AM相等且垂直，理由為：
∵∠BFM=∠CEM=90°，∠FMB=∠EMC，
∴△BMF∽△CME，
∴∠ABE=∠MCE，
在△ABE和△MCE中，

∠AEB=∠MEC=90° ∠ABE=∠MCE AB=CM

，
∴△ABE≌△MCE（AAS），
∴BE=CE，AE=EM，
∵BN=AC，
∴BN-BE=AC-CE，即AE=NE，
∴AE=ME=NE，
∴△AME和△ANE都為等腰直角三角形，
∴△MAN為等腰直角三角形，且∠MAC=∠NAC=45°，
∴AM=AN，MA⊥NA．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．