Question

在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=2，過點(diǎn)C作直線l∥AB，P為直線l上一點(diǎn)，且AP=AB，則點(diǎn)P到BC所在直線的距離是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,平行線之間的距離,含30度角的直角三角形,等腰直角三角形

專題：分類討論

分析：如圖1，延長(zhǎng)AC，做PD⊥BC交點(diǎn)為D，PE⊥AC，交點(diǎn)為E，可得四邊形CDPE是正方形，則CD=DP=PE=EC；等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，所以，可求出AC=2，AB=2

2

，又因?yàn)锳B=AP；所以，在直角△AEP中，可運(yùn)用勾股定理求得DP的長(zhǎng)即為點(diǎn)P到BC的距離．如圖2，延長(zhǎng)BC，作PD⊥BC，交點(diǎn)為D，延長(zhǎng)CA，作PE⊥CA于點(diǎn)E，同理可證，四邊形CDPE是正方形，同理可得，在直角△AEP中，可運(yùn)用勾股定理求得DP的長(zhǎng)即為點(diǎn)P到BC的距離．

解答：解：①如圖1，延長(zhǎng)AC，做PD⊥BC交點(diǎn)為D，PE⊥AC，交點(diǎn)為E，
∵CP∥AB，
∴∠PCD=∠CBA=45°，
∴四邊形CDPE是正方形，
則CD=DP=PE=EC，
∵在等腰直角△ABC中，AC=BC=2，AB=AP，
∴AB=

22+2

=2

2

，
∴AP=2

2

；
∴在直角△AEP中，（2+EC）²+EP²=AP²
∴（2+DP）²+DP²=（2

2

）²，
解得DP=

3

-1；

②如圖2，延長(zhǎng)BC，作PD⊥BC，交點(diǎn)為D，延長(zhǎng)CA，作PE⊥CA于點(diǎn)E，
同理可證，四邊形CDPE是正方形，
∴CD=DP=PE=EC，
同理可得，在直角△AEP中，（EC-2）²+EP²=AP²，
∴（PD-2）²+PD²=（2

2

）²，
解得PD=

3

+1．
故點(diǎn)P到BC所在直線的距離是

3

-1或

3

+1．
故答案為：

3

-1或

3

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的運(yùn)用，通過添加輔助線，可將問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，利用勾股定理解答；考查了學(xué)生的空間想象能力．