Question

【題目】如圖，在⊙O中，AB為直徑，OC⊥AB，弦CD與OB交于點F，在AB的延長線上有點E，且EF=ED．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若tanA=，探究線段AB和BE之間的數(shù)量關系，并證明；

（3）在（2）的條件下，若OF=1，求圓O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）AB=3BE；（3）3．

【解析】試題分析：（1）先判斷出∠OCF+∠CFO=90°，再判斷出∠OCF=∠ODF，即可得出結論；

（2）先判斷出∠BDE=∠A，進而得出△EBD∽△EDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出結論；

（3）設BE=x，則DE=EF=2x，AB=3x，半徑OD=x，進而得出OE=1+2x，最后用勾股定理即可得出結論．

試題解析：（1）證明：連結OD，如圖．∵EF=ED，∴∠EFD=∠EDF．∵∠EFD=∠CFO，∴∠CFO=∠EDF．∵OC⊥OF，∴∠OCF+∠CFO=90°．∵OC=OD，∴∠OCF=∠ODF，∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，∴OD⊥DE．∵點D在⊙O上，∴DE是⊙O的切線；

（2）線段AB、BE之間的數(shù)量關系為：AB=3BE．證明如下：

∵AB為⊙O直徑，∴∠ADB=90°，∴∠ADO=∠BDE．∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，∴∠BDE=∠A，而∠BED=∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴．∵Rt△ABD中，tanA==，∴=，

∴AE=2DE，DE=2BE，∴AE=4BE，∴AB=3BE；

（3）設BE=x，則DE=EF=2x，AB=3x，半徑OD=x．∵OF=1，∴OE=1+2x．

在Rt△ODE中，由勾股定理可得：（x）2+（2x）2=（1+2x）2，∴x=﹣（舍）或x=2，∴圓O的半徑為3．