Question

17．如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC⊥AB，O為AC的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線交AD于E，交BC于F，連結(jié)AF、CE，現(xiàn)在添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使四邊形AFCE是菱形，下列條件：①OE=OA；②EF⊥AC；③AF平分∠BAC；④E為AD中點(diǎn)．正確的有（　�。﹤�(gè)．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由在?ABCD中，O為AC的中點(diǎn)，易證得四邊形AFCE是平行四邊形；然后由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形與對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，求得答案．

解答 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，
∵O為AC的中點(diǎn)，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠CFO}\\{∠AOE=∠COF}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形；
①∵OE=OA，
∴AC=EF，
∴四邊形AFCE是矩形；故錯(cuò)誤；
②∵EF⊥AC，
∴四邊形AFCE是菱形；故正確；
③∵AF平分∠BAC，AB⊥AC，
∴∠BAF=∠CAF=45°，
無(wú)法判定四邊形AFCE是菱形；故錯(cuò)誤；
④∵AC⊥AB，AB∥CD，
∴AC⊥CD，
∵E為AD中點(diǎn)，
∴AE=CE=$\frac{1}{2}$AD，
∴四邊形AFCE是菱形；故正確．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意首先證得四邊形AFCE是平行四邊形是關(guān)鍵．