Question

加試題（本小題滿分20分，其中（1）、（2）、（3）題各3分，（4）題11分）
（1）一個(gè)正數(shù)的平方根為3-a和2a+3，則這個(gè)正數(shù)是

81

（2）若x²+2x+y²-6y+10=0，則x^y=

-1

（3）已知a，b分別是6-

13

的整數(shù)部分和小數(shù)部分，則2a-b=

13

（4）閱讀下面的問題，并解答問題：
1）如圖1，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)是多少？（請(qǐng)?jiān)谙铝袡M線上填上合適的答案）
分析：由于PA，PB，PC不在同一個(gè)三角形中，為了解決本題我們可以將△ABP繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ACP′處，此時(shí)可以利用旋轉(zhuǎn)的特征等知識(shí)得到：
  ①∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C；
  ②AP=AP′，且∠PAP′=

60

度，所以△APP′為

等邊

三角形，則∠AP′P=

60

度；
  ③P′C=BP=4，P′P=AP=3，PC=5，所以△PP′C為

直角

三角形，則∠PP′C=

90

度，從而得到∠APB=

150

度．
 2）請(qǐng)你利用第1）題的解答方法，完成下面問題：
如圖2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F為邊BC上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，試說明：EF²=BE²+FC²．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)，由此可得a的方程，解方程即可得到a的值；進(jìn)而可得這個(gè)正數(shù)的平方根，最后可得這個(gè)正數(shù)的值．
（2）利用x²+2x+y²-6y+10=0，將原式配方得到（x+1）²+（y-3）²=0進(jìn)而求出即可；
（3）先估算

13

的取值范圍，進(jìn)而可求6-

13

的取值范圍，從而可求a，進(jìn)而求b，最后把a(bǔ)、b的值代入計(jì)算即可．
（4）
1）此類題要充分運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及全等三角形的性質(zhì)得對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，得出∠PAP′=60°，再利用等邊三角形的判定得出△APP′為等邊三角形，即可得出∠APP′的度數(shù)，即可得出答案；
2）利用已知首先得出△AEG≌△AFE，即可把EF，BE，F(xiàn)C放到一個(gè)直角三角形中，從而根據(jù)勾股定理即可證明．

解答：解：（1）∵一個(gè)正數(shù)的平方根是3-a和2a+3，
∴3-a和2a+3互為相反數(shù)，
即（3-a）+（2a+3）=0；
解得a=-6，
則3-a=9；
則這個(gè)數(shù)為9²=81；
故答案為：81，
（2）∵x²+2x+y²-6y+10=0，
∴（x+1）²+（y-3）²=0，
∴x+1=0，y-3=0，
∴x=-1，y=3，
則x^y=-1，
故答案為：-1，
（3）解：∵

9

＜

13

＜

16

，
∴3＜

13

＜4，
∴2＜6-

13

＜3，
∴a=2，
∴b=6-

13

-2=4-

13

，
∴2a-b=2×2-（4-

13

）=

13

．
故答案是

13

．

（4）
1）將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處，
∴△BAP≌△CAP′，
∴AB=AC，AP=AP′，∠BAP=∠CAP′，
∴∠BAC=PAP′=60°，
∴△APP′是等邊三角形，
∴∠APP′=60°，
因?yàn)锽 P P′不一定在一條直線上
連接PC，△PP′C是直角三角形，∠APB=∠AP′C=150°，
∴∠BPA=150°；
故答案是：②60，等邊，60，③直角，90°，150°；

2）把△ACF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG．連接EG．
則△ACF≌△ABG．
∴AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°．
∵∠BAC=90°，∠GAF=90°．
∴∠GAE=∠EAF=45°，
又AG=AF，AE=AE．
∴△AEG≌△AFE．
∴EF=EG，
又∠GBE=90°，
∴BE²+BG²=EG²，
即BE²+CF²=EF²．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、完全平方公式及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、平方根的概念、無理數(shù)的估算等知識(shí)，充分運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)找到相關(guān)的角和線段之間的關(guān)系以及確定無理數(shù)的整數(shù)部分是解決問題的關(guān)鍵．