Question

8．如圖，⊙O中，AB，AC是弦，點(diǎn)M是$\widehat{CAB}$的中點(diǎn)，MP⊥AB，垂足為P，若AC=1，AP=2，則PB的長為4．

Answer 1

分析 首先證明△DEB、△AEC是等腰三角形，得到AE=AC=1，PE=PB=3，即可解決問題．

解答 解：如圖，延長MP交⊙O于D，連接DB、DC，延長DC、BA交于點(diǎn)E，
∵$\widehat{CM}$=$\widehat{BM}$，
∴∠CDM=∠BDM，
∵PM⊥AB，
∴∠DPE=∠DPB=90°，
在△DPE和△DPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPE=∠DPB}\\{DP=DP}\\{∠EDP=∠BDP}\end{array}\right.$，
∴△DPE≌△DPB，
∴DE=DB，EP=PB，
∴∠E=∠B，
∵∠ECA=∠B，
∴∠E=∠ECA，
∴AE=AC=1，
∵PA=2，
∴PE=PB=AE+PA=3，
∴AB=PB+PA=3+1=4．
故答案為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，利用等腰三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．