Question

(2007，遼寧省大連市，23)如圖1，小明在研究正方形ABCD的有關(guān)問題時(shí)，得出：“在正方形ABCD中，如果點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC邊上的一點(diǎn)，且∠FAE=∠EAD，那么EF⊥AE”．他又將“正方形”改為“矩形”“菱形”和“任意平行四邊形”(如圖2、圖3、圖4)，其他條件不變，發(fā)現(xiàn)仍然有“EF⊥AE”的結(jié)論．

你同意小明的觀點(diǎn)嗎？若同意，請結(jié)合圖4加以證明；若不同意，請說明理由．

　

Answer 1

答案：略
解析：

解：同意 方法一： 證明：如圖，延長AE交BC的延長線于點(diǎn)G． ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC，∴∠D=∠ECG． ∵E為DC的中點(diǎn)，∴DE=EC， 又∵∠DEA=∠CEG，∴△ADE≌△GCE(ASA)． ∴AE=GE，∠DAE=∠G． ∵∠FAE=∠DAE， ∴∠FAE=∠G． ∴FA=FG． ∴EF⊥AE． 方法二： 證明：如圖，在AF上截取AG=AD，連接EG、GC． ∵∠FAE=∠EAD，AE=AE， ∴△AEG≌△AED(SAS)． ∴DE=GE，∠AGE=∠D， ∠1=∠2． ∵點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)， ∴EC=DE，∴EC=GE． ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC， ∴∠BCD＋∠D=180°． ∵∠EGF＋∠AGF=180°，∴∠BCD=∠EGF． ∵EG=EC，∴∠EGC=∠ECG． ∴∠FGC=∠FCG．∴GF=FC． 又∵EF=EF，∴△GEF≌△CEF(SSS)． ∴∠3=∠4． ∴． ∴EF⊥AE．