Question

一列數(shù)按下列規(guī)律排列：

1

4

，

3

9

，

7

16

，

13

25

，

21

36

，…，則第8個(gè)數(shù)是

57

81

．

Answer 1

分析：觀察可得，分?jǐn)?shù)的分母是分?jǐn)?shù)所在的序數(shù)加1的平方，后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與前一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子的差是連續(xù)的偶數(shù)，找出分子的變化規(guī)律的通項(xiàng)表示，然后求出第8個(gè)分?jǐn)?shù)的分子，即可得解．

解答：解：∵4=（1+1）²，9=（2+1）²，16=（3+1）²，25=（4+1）²，36=（5+1）²，
∴第8個(gè)分?jǐn)?shù)的分母是（8+1）²=81，
設(shè)第n個(gè)數(shù)的分子為a_n，則a₁=1，
a₂-a₁=3-1=2=2×1，
a₃-a₂=7-3=4=2×2，
a₄-a₃=13-7=6=2×3，
a₅-a₄=21-13=8=2×4，
…，
a_n-a_n-1=2（n-1），
所以，a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+（a₅-a₄）+…+（a_n-a_n-1）=1+2+4+6+8+…+2（n-1），
即a_n=1+

[2+2(n-1)](n-1)

2

=1+n（n-1）=n²-n+1，
當(dāng)n=8時(shí)，a₈=8²-8+1=57，
所以，第8個(gè)數(shù)是

57

81

．
故答案為：

57

81

．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)數(shù)字變化規(guī)律的考查，仔細(xì)觀察，分母的變化規(guī)律比較簡(jiǎn)單，關(guān)鍵是分子的變化規(guī)律，觀察出后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與前一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子的差成偶數(shù)規(guī)律變化是解題的關(guān)鍵．