Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c的頂點為C（1，4），交x軸于點A（3，0），交y軸于點D．
（1）求a，b，c值；
（2）求過A、D兩點的直線的解析式；
（3）試探究在直線AD的上方的拋物線y=ax²+bx+c上是否存在除點C以外的點E，使得△ADE與△ACD的面積相等？若存在，請求出此時點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)A、C的坐標(biāo)，即可求得拋物線的解析式，進(jìn)而可求出求a，b，c值；
（2）設(shè)A、D的解析式為y=kx+b，用待定系數(shù)法可確定直線AD的解析式；
（3）假設(shè)存在符合條件的E點，過C作CD⊥x軸于D，交直線AD于H；過E作EF⊥x軸于F，交直線AD于P；根據(jù)拋物線的對稱軸方程及直線AD的解析式，易求得H點的坐標(biāo)，即可得到CH的長；設(shè)出E點橫坐標(biāo)，根據(jù)直線AD和拋物線的解析式，可表示出P、E的縱坐標(biāo)，即可得到PE的長；根據(jù)（1）題得到的結(jié)論，當(dāng)PE=CH時，所求的兩個三角形面積相等，由此可列出關(guān)于E點橫坐標(biāo)的方程，從而求出E點的坐標(biāo)．（需注意的是E點可能在直線AD的上方或下方，這兩種情況下PE的表達(dá)式會有所不同，要分類討論）

解答：解：（1）∵拋物線的頂點坐標(biāo)是C（1，4），
∴可設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（x-1）²+4；
又∵拋物線經(jīng)過點A（3，0），
∴將其坐標(biāo)代入上式，得0=a（3-1）²+4，解得a=-1；
∴該拋物線的表達(dá)式為y=-（x-1）²+4，
即y=-x²+2x+3，
∴a=-1，b=2，c=3；
（2）D點坐標(biāo)為（0，3），
設(shè)直線AD的表達(dá)式為y=kx+3，
代入點A的坐標(biāo)，得0=3k+3，解得k=-1；
故直線AD的表達(dá)式為y=-x+3；
（3）存在，理由如下：如圖3，

過C點作CG⊥x軸，垂足為G，交AD于點H；則H點的縱坐標(biāo)為-1+3=2；
∴CH=CG-HG=4-2=2；
設(shè)點E的橫坐標(biāo)為m，則點E的縱坐標(biāo)為-m²+2m+3；
過E點作EF⊥x軸，垂足為F，交AD于點P，則點P的縱坐標(biāo)為3-m，EF∥CG；
若EP=CH，則△ADE與△ADC的面積相等；
①若E點在直線AD的上方，如圖③
則PF=3-m，EF=-m²+2m+3，
∴EP=EF-PF=-m²+2m+3-（3-m）=-m²+3m，
∴-m²+3m=2，
解得m₁=2，m₂=1；
當(dāng)m=2時，PF=3-2=1，EF=1+2=3；
∴E點坐標(biāo)為（2，3）；
同理當(dāng)m=1時，E點坐標(biāo)為（1，4），與C點重合；
②若E點在直線AD的下方，如圖④，如圖⑤
則PE=（3-m）-（-m²+2m+3）=m²-3m；
∴m²-3m=2，
解得：m₃=

3+ 17

2

，m₄=

3- 17

2

；
當(dāng)m=

3+ 17

2

時，E點的縱坐標(biāo)為3-

3+ 17

2

-2=-

1+ 17

2

；
當(dāng)m=

3- 17

2

時，E點的縱坐標(biāo)為3-

3- 17

2

-2

-1+ 7

2

；
∴在拋物線上存在除點C以外的點E，使得△ADE與△ACD的面積相等，E點的坐標(biāo)為E₁（2，3）；E₂（

3+ 17

2

，-

1+ 17

2

）；E₃（

3- 17

2

，

-1+ 17

2

）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、一次函數(shù)解析式得確定、解一元二次方程的問題、三角形的面積公式、函數(shù)圖象交點坐標(biāo)的求法等知識；同時還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，能力要求高，難度較大．