Question

15．如圖，⊙O中弦AB⊥CD于E，AE=2，EB=6，ED=3，則⊙O的半徑為$\frac{\sqrt{65}}{2}$．

Answer 1

分析 作OG⊥CD于G，OF⊥AB于F，由相交弦定理得出DE•CE=AE•BE，求出CE，得出CD，由垂徑定理得出得EG，證出四邊形OGEF為矩形，得出OF=EG=$\frac{1}{2}$，根據(jù)勾股定理計算即可，

解答 解：作OG⊥CD于G，OF⊥AB于F，連接OB，
由相交弦定理得：DE•CE=AE•BE，即3×CE=2×6，
∴CE=4，
∴CD=CE+DE=7，
∵OF⊥AB，
∴DG=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{7}{2}$，
∴EG=DG-DE=$\frac{1}{2}$，
∵OF⊥AB，AB=AE+BE=8，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB=4，
∵OG⊥CD，OF⊥AB，CD⊥AB，
∴∠OGE=∠GEF=∠OFE=90°，
∴四邊形OGEF為矩形，
∴OF=EG=$\frac{1}{2}$，
在Rt△OBF中，OF=$\frac{1}{2}$，BF=4，
根據(jù)勾股定理得：OB=$\sqrt{O{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{65}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{65}}{2}$．

點(diǎn)評 此題考查了相交弦定理、垂徑定理、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)，根據(jù)圖形作出相應(yīng)的輔助線是解本題的關(guān)鍵．