Question

1．要建一個如圖所示的面積為300m²的長方形圍欄，圍欄總長50m，一邊靠墻（墻長25m）．
（1）求圍欄的長和寬；
（2）能否圍成面積為400m²的長方形圍欄？如果能，求出該長方形的長和寬，如果不能請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圍欄的寬為x米，則圍欄的長為（50-2x）米，根據(jù)“圍欄的面積=圍欄長×寬”即可列出關(guān)于x的一元二次方程，解方程求出x的值，再根據(jù)長方形的長大于寬以及長方形的長小于墻的長度列出關(guān)于x的一元一次不等式組，解不等式組即可求出x的取值范圍，由此即可得出結(jié)論；
（2）假設(shè)能圍成，設(shè)圍欄的寬為y米，則圍欄的長為（50-2y）米，根據(jù)“圍欄的面積=圍欄長×寬”即可列出關(guān)于x的一元二次方程，由根的判別式△＜0，可得出該方程沒有實數(shù)根，從而得出假設(shè)不成立，由此即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)圍欄的寬為x米，則圍欄的長為（50-2x）米，
依題意得：x（50-2x）=300，即2x²-50x+300=（x-15）（2x-20）=0，
解得：x=10或x=15，
∵$\left\{\begin{array}{l}{50-2x≤25}\\{x＜50-2x}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{25}{2}$≤x＜$\frac{50}{3}$，
∴x=15，50-2x=20．
答：圍欄的長為20米，圍欄的寬為15米．
（2）假設(shè)能圍成，設(shè)圍欄的寬為y米，則圍欄的長為（50-2y）米，
依題意得：y（50-2y）=400，即2y²-50y+400=0，
∵△=（-50）²-2×4×400=-700＜0，
∴該方程沒有實數(shù)根．
故假設(shè)不成立，即不能圍成面積為400m²的長方形圍欄．

點評 本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于x的一元二次方程以及一元一次不等式組；（2）由根的判別式的正負得出方程解得情況．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，不僅僅列出方程解出方程，還需要根據(jù)隱含的條件列出不等式組，求出x的取值范圍，此處是失分點，希望在日常練習中多加注意．