如圖,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,點D是BC邊的中點.點P從點B出發(fā),以acm/s(a>0)的速度沿BA勻速向點A運動;點Q同時以1cm/s的速度從點D出發(fā),沿DB勻速向點B運動,其中一個動點到達端點時,另一個動點也隨之停止運動,設(shè)它們運動的時間為ts.

(1)若a=2,△BPQ∽△BDA,求t的值;

(2)設(shè)點M在AC上,四邊形PQCM為平行四邊形.

①若a=,求PQ的長;

②是否存在實數(shù)a,使得點P在∠ACB的平分線上?若存在,請求出a的值;若不存在,請說明

理由.

 

【答案】

解:(1)△ABC中,AB=AC=10,BC=12,D是BC的中點,∴BD=CD=BC=6。

∵a=2,∴BP=2t,DQ=t!郆Q=BD-QD=6-t。

∵△BPQ∽△BDA,∴,即,解得:。

(2)①過點P作PE⊥BC于E,

 

 

∵四邊形PQCM為平行四邊形,

∴PM∥CQ,PQ∥CM,PQ=CM。

∴PB:AB=CM:AC。

∵AB=AC,∴PB=CM!郟B=PQ。

∴BE=BQ=(6-t)。

∵a=,∴PB=t。

∵AD⊥BC,∴PE∥AD!郟B:AB=BE:BD,即。

解得,t=。

∴PQ=PB=t=(cm)。

②不存在.理由如下:

 

 

∵四邊形PQCM為平行四邊形,∴PM∥CQ,PQ∥CM,PQ=CM。

∴PB:AB=CM:AC。

∵AB=AC,∴PB=CM,∴PB=PQ。

若點P在∠ACB的平分線上,則∠PCQ=∠PCM,

∵PM∥CQ,∴∠PCQ=∠CPM。∴∠CPM=∠PCM。

∴PM=CM!嗨倪呅蜳QCM是菱形!郟Q=CQ。

∴PB=CQ。

∵PB=at,CQ=BD+QD=6+t,∴PM=CQ=6+t,AP=AB-PB=10-at,且 at=6+t①。

∵PM∥CQ,∴PM:BC=AP:AB,∴,化簡得:6at+5t=30②。

把①代入②得,t=。

∴不存在實數(shù)a,使得點P在∠ACB的平分線上。

【解析】等腰三角形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),平行的性質(zhì),菱形的判定和性質(zhì),反證法。

【分析】(1)由△ABC中,AB=AC=10,BC=12,D是BC的中點,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì),

即可求得BD與CD的長,又由a=2,△BPQ∽△BDA,利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例,即可求得t的值。

(2)①首先過點P作PE⊥BC于E,由四邊形PQCM為平行四邊形,易證得PB=PQ,又由平行

線分線段成比例定理,即可得方程,解此方程即可求得答案。

②用反證法,假設(shè)存在點P在∠ACB的平分線上,由四邊形PQCM為平行四邊形,可得四邊形PQCM是菱形,即可得PB=CQ,PM:BC=AP:PB,及可得方程組,解此方程組求得t值為負,故可得不存在。

 

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(  )
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1
2
B、(
2
2
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C、
1
4
D、
1
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