Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B．
（1）求證：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=3.5，AD=4，AF=2.8，求平行四邊形ABCD的面積．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF=∠DEC，∠B+∠C=180°，
∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；

（2）解：∵△ADF∽△DEC，
∴，
∴，
∴DE=5，
在Rt△ADE中，AE==3，
∴平行四邊形ABCD的面積為：BC×AE=4×3=12．
分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，易證得∠ADF=∠DEC，∠B+∠C=180°，又由∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，可得∠AFD=∠C，然后根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，即可證得：△ADF∽△DEC；
（2）由△ADF∽△DEC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得DE的長(zhǎng)，由勾股定理即可求得AE的長(zhǎng)，繼而求得平行四邊形ABCD的面積．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．