Question

如圖，PA、PB分別切⊙O于A、B，AC是⊙O的直徑，過P作PM⊥BP交CB的延長線于M
（1）求證：∠C=∠M
（2）若cos∠C=

2

3

，CM=3，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）如圖，連接OB、OP，構(gòu)造平行線MP∥OB，所以由平行線的性質(zhì)，等腰△OBC的性質(zhì)以及等量代換證得結(jié)論；
（2）設(shè)⊙O的半徑為R．如圖，連接AB．根據(jù)垂徑定理、圓周角定理以及（1）中的MP∥OB推知四邊形OBMP是平行四邊形．則對邊OB=PM=R，通過解直角△ABC和直角△BPM分別求得線段BC=

4

3

R、BM=

3

2

R，然后結(jié)合已知條件知BC+BM=3．

解答：（1）證明，如圖，連接OB、OP．∵PB是⊙O的切線，點B是切點，
∴∠PBO=90°．
又∵PM⊥BP，
∴∠BPM=90°，
∴∠PBO=∠BPM，
∴MP∥OB，
∴∠M=∠OBC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠C，
∴∠C=∠M；

（2）如圖，連接AB，則OP⊥AB，CB⊥AB．
∴OP∥CM．
又∵M(jìn)P∥OB，
∴四邊形OBMP是平行四邊形．
設(shè)⊙O的半徑為R，則MP=OB=R．
∵cos∠C=

BC

AC

=

2

3

，
∴BC=

4

3

R．
∴cos∠M=cos∠C=

PM

BM

=

2

3

，
∴BM=

3

2

R，
∴

4

3

R+

3

2

R=3，
解得，R=

18

17

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形．解答（2）題時，借用了平行四邊形的判定與性質(zhì)．