【題目】如圖,AB為⊙O直徑,E為⊙O上一點,∠EAB的平分線AC 交 ⊙O于C點,過C點作CD⊥A E的延長線于D點,直線CD與射線AB交于P點.
(1)求證:DC為⊙O切線;
(2)若DC=1,AC=,①求⊙O半徑長;②求PB的長.
【答案】(1)證明見解析;(2);.
【解析】
試題分析:(1)連結(jié)OC,如圖,由AC平分∠EAB得到∠1=∠2,加上∠2=∠3,則∠1=∠3,于是可判斷OC∥AD,由于CD⊥AD,所以O(shè)C⊥CD,則根據(jù)切線的判定定理得到DC為⊙O切線;
(2)①連結(jié)BC,如圖,在Rt△ACD中利用勾股定理計算出AD=2,再Rt△ACD∽Rt△ABC,利用相似比計算出AB=,從而得到⊙O半徑長為;
②證明△EOC∽△EAD,然后利用相似比可計算出BE的長.
試題解析:(1)連結(jié)OC,如圖,
∵AC平分∠EAB,
∴∠1=∠2,
∵OA=OC,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3,
∴OC∥AD,
∵CD⊥AD,
∴OC⊥CD,
∴DC為⊙O切線;
(2)①連結(jié)BC,如圖,
在Rt△ACD中,∵CD=1,AC=,
∴AD==2,
∵AB為直徑,
∴∠ACB=90°,
∵∠1=∠2,
∴Rt△ACD∽Rt△ABC,
∴AC:AB=AD:AC,即:AB=2:,
∴AB=,
∴⊙O半徑長為;
②∵OC∥AD,
∴△EOC∽△EAD,
∴,即,
∴BE=.
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