Question

（2012•烏魯木齊）如圖，已知點(diǎn)A（-12，0），B（3，0），點(diǎn)C在y軸的正半軸上，且∠ACB=90°．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求Rt△ACB的角平分線CD所在直線l的解析式；
（3）在l上求出滿足S_△PBC=

1

2

S_△ABC的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）已知點(diǎn)M在l上，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以O(shè)、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在．請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）OC是直角△ABC斜邊上的高線，則△AOC∽△COB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求得OC的長(zhǎng)，進(jìn)而求得C的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E．設(shè)DB的長(zhǎng)為m，在直角△BDE中，利用三角函數(shù)利用m表示出DE和BE的長(zhǎng)，進(jìn)而表示出CE的長(zhǎng)，根據(jù)BE+CE=BC即可得到一個(gè)關(guān)于m的方程求得m的值，則D的橫坐標(biāo)即可求解，然后利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（3）延長(zhǎng)AB到Q使BG=

1

2

AB，根據(jù)S_△PBC=

1

2

S_△ABC則點(diǎn)P一定在經(jīng)過AB的中點(diǎn)或Q平行于直線BC的直線上，這條直線與l的交點(diǎn)就是P點(diǎn)；
（4）當(dāng)OC是菱形的對(duì)角線時(shí)，MN一定在AC的中垂線上，且MN一定關(guān)于OC對(duì)稱，據(jù)此即可求得N的坐標(biāo)；
當(dāng)OC是菱形的一條邊時(shí)，依據(jù)M在直線l上，即可求得M的坐標(biāo)，再由MN∥OC，MN=OC即可得出N點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）由△AOC∽△COB，可得OC²=OA×OB=36，
∴OC=6
又∵點(diǎn)C在y軸的正半軸上，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，6）；

（2）過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E．設(shè)DB的長(zhǎng)為m．
在Rt_△DEB中，DE=DB•sinB=m•

AC

AB

=

2 5

5

m，BE=DB•cosB=

5

5

m
在Rt_△DEC中，∠DEC=45°，于是CE=DE=

2 5

5

m
由CE+BE=BC，即

2 5

5

m+

5

5

m=3

5

，解得m=5
又由OA＞OB，知點(diǎn)D在線段OA上，OB=3，所以O(shè)D=2，故點(diǎn)D（-2，0）；
設(shè)直線l的解析式為：y=kx+b，把C（0，6）和D（-2，0）代入y=kx+b中，
得

b=6 -2k+b=0

，
解得

k=3 b=6

．
故直線l的解析式為：y=3x+6；

（3）①取AB的中點(diǎn)F（-4.5，0），過點(diǎn)F作BC的平行線交直線l于點(diǎn)P₁，連接CF．
易知S_△P1BC=S_△FBC=S_△ACB，∴點(diǎn)P₁為符合題意的點(diǎn)．
直線P₁F可由直線BC向左平移BF個(gè)單位得到（即向左平移7.5個(gè)單位）
而直線BC的解析式為y=-2x+6，

即直線P₁F的解的式為y=-2（x+7.5）+6即
y=-2x-9，由

y=-2x-9 y=3x+6

得點(diǎn)P₁（-3，-3）
②在直線l上取點(diǎn)P₂使C P₂=C P₁，此時(shí)有S_△P2BC=S_△P1BC=

1

2

S_△ACB，∴點(diǎn)符P₂合題意．
由C P₂=C P₁，可得點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（3，15），∴點(diǎn)P（-3，-3）或P（3，15）可使S_△PBC=

1

2

S_△ABC；

（4）當(dāng)OC是菱形的對(duì)角線時(shí)，OC的中點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，3），則把y=3代入l的解析式得：3x+6=3，
解得：x=-1．
則M的坐標(biāo)是（-1，3），N的坐標(biāo)是（1，3）；
當(dāng)OC是菱形的一條邊時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)是（-

18

5

，-

12

5

），（

3 10

5

，

9 10

5

），（-

3 10

5

，-

9 10

5

）．
故N的坐標(biāo)是（1，3）或（-

18

5

，-

12

5

）或（

3 10

5

，

9 10

5

）或（-

3 10

5

，-

9 10

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及三角形的面積，直線平行的條件，菱形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，正確進(jìn)行討論是關(guān)鍵．