Question

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，點D、E、F分別在邊BC、AB、AC上，聯(lián)結(jié)DE、EF、FD，若BE=

1

2

ED，且FD⊥BC．
（1）求證：四邊形AEDF是平行四邊形；
（2）若AC=3AE，求證：四邊形AEDF是菱形．

Answer 1

考點：菱形的判定,平行四邊形的判定

專題：

分析：（1）分別證明AB∥FD，ED∥AC可證明四邊形AEDF是平行四邊形；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AE=FD，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得AC=3AE，然后證明AF=FD，可得四邊形AEDF是菱形．

解答：證明：（1）∵FD⊥BC，
∴∠FDC=90°，
∵∠B=90°，
∴AB∥FD，
∵BE=

1

2

ED，
∴sin∠EDB=

1

2

，
∴∠EDB=30°，
∵∠C=30°，
∴ED∥AC，
∴四邊形AEDF是平行四邊形；

（2）∵四邊形AEDF是平行四邊形，
∴AE=FD，
∵∠C=30°，
∴FD=

1

2

FC，
∵AC=3AE，
∴AE=

1

3

AC，
∴

1

2

FC=

1

3

AC，
∴3FC=2AC，
3FC=2（AF+FC），
3FC=2AF+2FC，
CF=2AF，
∴AF=FD，
∴四邊形AEDF是菱形．

點評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，以及菱形的判定，關(guān)鍵是掌握兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，鄰邊相等的平行四邊形是菱形．