Question

如圖，在△ABC中，∠B=30°，以邊AB的中點(diǎn)O為圓心，BO長(zhǎng)為半徑作⊙O，恰好過(guò)頂點(diǎn)C．在半圓AB上取點(diǎn)D，連接CD．
（1）∠ACB的度數(shù)為_(kāi)_____°，理由是______．
（2）在半圓AB上取中點(diǎn)D，連接CD．若AC=6，補(bǔ)全圖形并求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）∵AB是⊙O的直徑，⊙O過(guò)點(diǎn)C，
∴∠ACB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）．

（2）分兩種情況討論：
①C、D兩點(diǎn)在直徑AB異側(cè)，連接BD，過(guò)B作BE⊥CD于E．
在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6，
∴AB=2AC=12，BC=

3

AC=6

3

．
∵在半圓AB上取中點(diǎn)D，
∴∠BCD=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=CE=

2

2

BC=3

6

．
在△BDE中，∵∠BED=90°，∠D=∠A=60°，
∴DE=

3

3

BE=3

2

，
∴CD=CE+DE=3

6

+3

2

；

②C、D兩點(diǎn)在直徑AB同側(cè)，
連接BD，過(guò)B作BE⊥CD于E．
在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6，
∴AB=2AC=12，BC=

3

AC=6

3

．
∵在半圓AB上取中點(diǎn)D，
∴∠BCD=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=CE=

2

2

BC=3

6

．
在△BDE中，∵∠BED=90°，∠BDE=∠A=60°，
∴DE=

3

3

BE=3

2

，
∴CD=CE-DE=3

6

-3

2

．
故答案為：90，直徑所對(duì)的圓周角是直角．