Question

如圖，在?ABCD中，過A、B、D三點的⊙O交BC于點E，連接DE，∠CDE=∠DAE．
（1）判斷四邊形ABED的形狀，并說明理由；
（2）判斷直線DC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（3）若AB=3，AE=6，求CE的長．

Answer 1

考點：切線的判定,平行四邊形的性質

專題：計算題

分析：（1）四邊形ABED為等腰梯形，理由為：利用四邊形的外角等于它的內對角得到一對角相等，再由平行四邊形的對角相等，利用等量代換得到∠DEC=∠C，利用等角對等邊得到DE=DC，而DC=AB，故DE=AB，再由BE與AD平行，DE與AB不平行即可得證；
（2）DC與圓O相切，理由：連接DO并延長與圓交于F點，利用圓周角定理及等量代換得到OD與DC垂直，即可得證；
（3）由等腰梯形對角線相等得到AE=BD，利用弦切角等于夾弧所對的圓周角，以及公共角相等得到三角形CDE與三角形BCD相似，由相似得比例，即可求出CE的長．

解答：解：（1）四邊形ABED為等腰梯形，理由為：
∵∠DEC為圓內接四邊形ABED的外角，
∴∠DEC=∠DAB，
∵ABCD為平行四邊形，
∴∠C=∠DAB，DC=AB，AD∥BC，
∴∠DEC=∠C，
∴DC=DE，
∴AB=DE，
∵AD∥BC，DE與AB不平行，
∴四邊形ABED為等腰梯形；

（2）DC與圓O相切，理由為：
連接DO并延長，交圓O于點F，連接AF，
∵DF為圓的直徑，
∴∠DAF=90°，即∠DAE+∠EAB+∠BAF=90°，
∵∠DAE=∠CDE，∠EAB=∠EDB，∠BAF=∠BDF，
∴∠FDC=∠CDE+∠EDB+∠BDF=90°，
則DC與圓O相切；

（3）∵四邊形ABED為等腰梯形，
∴AE=DB=6，
∵DC與圓O相切，
∴∠CDE=∠DBC，
∵∠C=∠C，
∴△CED∽△CDB，
∴

CE

CD

=

ED

BD

，
∵AB=CD=3，DE=3，BD=6，
∴

CE

3

=

3

6

，
解得：CE=1.5．

點評：此題考查了切線的判定，平行四邊形的性質，等腰梯形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握切線的判定是解本題的關鍵．