Question

1．已知：在正方形ABCD中，對(duì)角線AC長(zhǎng)為10，點(diǎn)A、C到直線l的距離均為3，則點(diǎn)B到直線l的距離為2或4或8．

Answer 1

分析 兩種情況：①連接BD與AC相交于O，由正方形的性質(zhì)得出OB=OD=5，容易得出點(diǎn)B到直線l的距離為2；同理在點(diǎn)D的另一側(cè)還有直線滿足條件，點(diǎn)B到直線l的距離為8；②連接BD與AC相交于O，l經(jīng)過(guò)O；作BM⊥l于M，CN⊥l于N，則∠2+∠OCN=90°，由AAS證明△OBM≌△CON，得出BM=ON，由勾股定理求出即可．

解答 解：分兩種情況：①如圖1，連接BD與AC相交于O，
∵正方形ABCD的對(duì)角線BD=AC=10，
∴OB=OD=5，
∴直線l∥AC并且到DA、C的距離為3，
∴點(diǎn)B到直線l的距離為5-3=2；
同理，在點(diǎn)D的另一側(cè)還有直線滿足條件，點(diǎn)B到直線l的距離為5+3=8；
②如圖2，連接BD與AC相交于O，l經(jīng)過(guò)O；作BM⊥l于M，CN⊥l于N，
則∠2+∠OCN=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OB=OC=$\frac{1}{2}$AC=5，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠OCN，
在△OBM和△CON中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BMO=∠ONC=90°}&{\;}\\{∠1=∠OCN}&{\;}\\{OB=OC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OBM≌△CON（AAS），
∴BM=ON=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
即點(diǎn)B到直線l的距離為4，
同理，還有過(guò)點(diǎn)O的直線滿足條件，點(diǎn)B到直線l的距離也為4；
綜上所述：點(diǎn)B到直線l的距離為2或4或8．
故答案為：2或4或8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；本題②中有一定難度，需要通過(guò)作輔助線證明三角形全等和運(yùn)用勾股定理才能得出結(jié)果．