Question

已知菱形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為8，∠A=60°，E為AB邊上的點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥BD交AD于點(diǎn)F．將菱形先沿EF按圖1所示方式折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，過點(diǎn)A'作GH∥BD分別交線段BC、DC于點(diǎn)G、H，再將菱形沿GH按圖1所示方式折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處，C'G與C'H分別交A'E與A'F于點(diǎn)M、N．若點(diǎn)C'在△A'EF的內(nèi)部或邊上，此時(shí)我們稱四邊形A'MC'N（即圖中陰影部分）為“重疊四邊形”．

（1）若把菱形紙片ABCD放在菱形網(wǎng)格中（圖中每個(gè)小三角形都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形），點(diǎn)A、B、C、D、E恰好落在網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)上．如圖2所示，請(qǐng)直接寫出此時(shí)重疊四邊形A'MC'N的面積；
（2）實(shí)驗(yàn)探究：設(shè)AE的長(zhǎng)為m，若重疊四邊形A'MC'N存在．試用含m的代數(shù)式表示重疊四邊形A'MC'N的面積，并寫出m的取值范圍（直接寫出結(jié)果，備用圖供實(shí)驗(yàn)，探究使用）．
解：（1）重疊四邊形A'MC'N的面積為

 

；
（2）用含m的代數(shù)式表示重疊四邊形A'MC'N的面積為

 

；m的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：（1）由折疊的性質(zhì)，即可證得四邊形A′MC′N是菱形，然后由A′M=2，∠A′=60°，即可求得MN=2，A′C′=2

3

，根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線積的一半，即可求得重疊四邊形A′MC′N的面積；
（2）首先由折疊的性質(zhì)，證得A′M=GM=BE，然后由AE=m，則A′M=8-m，根據(jù)（1）的方法，即可求得用含m的代數(shù)式表示重疊四邊形A′MC′N的面積．

解答：解：（1）根據(jù)題意得：∠A′=∠C′=60°，∠C′MA′=∠C′NA′=120°，
∴四邊形A′MC′N是平行四邊形，
∵A′M=C′M，
∴四邊形A′MC′N是菱形，
∵A′M=2，∠A′=60°，
∴MN=2，A′C′=2

3

，
∴重疊四邊形A′MC′N的面積為：

1

2

MN•A′C′=

1

2

×2×2

3

=2

3

；（2分）

（2）根據(jù)題意得：BE∥GM，BC∥A′E，
∴四邊形BEMG是平行四邊形，
∴GM=BE，
∵∠MGA′=∠A′MG=60°，
∴△A′GM是等邊三角形，
∴A′M=GM=BE，
∵AE=m，則A′M=8-m，
由（1）得：MN=8-m，A′C′=

3

（8-m），
∴用含m的代數(shù)式表示重疊四邊形A′MC′N的面積為

3

2

(8-m)2；（4分）
∴m的取值范圍為

16

3

≤m＜8．（5分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了折疊的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及菱形的性質(zhì)等知識(shí)．此題圖形較復(fù)雜，難度適中，解此題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．