Question

已知兩個二次方程x²+ax+b=0與x²+cx+d=0有一個公共根為1，求證：二次方程x2+

a+c

2

x+

b+d

2

=0也有一個根為1．

Answer 1

考點：一元二次方程的解,一元二次方程的定義

專題：方程思想

分析：本題是一道證明題，因為x=1是這兩個方程的公共根，所以它必須同時滿足這兩個方程，得到字母系數(shù)a，b，c，d之間的關(guān)系，然后利用它們之間的關(guān)系就可以證明．

解答：證明：∵x=1是方程x²+ax+b=0和x²+cx+d=0的公共根，
∴a+b+1=0，c+d+1=0，
∴a+c+b+d+2=0，
∴b+d=-a-c-2  ①
把①代入方程x²+

a+c

2

x+

b+d

2

=0，
得：x²+

a+c

2

x-1-

a+c

2

=0，
（x²-1）+

a+c

2

（x-1）=0，
（x-1）（x+1+

a+c

2

）=0，
∴x₁=1，x₂=-1-

a+c

2

．
故二次方程x²+

a+c

2

x+

b+d

2

=0也有一個公共根為1．

點評：本題考查的是一元二次方程的解，由方程的解確定字母系數(shù)之間的關(guān)系，利用它們之間的關(guān)系加以證明．