Question

4．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，點E為直線AC上一點，D為直線BC上的一點，且DA=DE．
當(dāng)點D在線段BC上時，如圖①，易證：BD+AB=AE；
當(dāng)點D在線段CB的延長線上時，如圖②、圖③，猜想線段BD，AB和AE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并選擇一種情況給予證明．

Answer 1

分析 圖②中，論：BD+AE=AB，作EM∥AB交BC于M，先證明△EMC是等邊三角形得CE=CM，AE=BM，再證明△ABD≌△DEM，得DB=EM=MC由此可以對稱結(jié)論．圖③中，結(jié)論：BD-AE=AB，證明方法類似．

解答 解；如圖②中，結(jié)論：BD+AE=AB．
理由：作EM∥AB交BC于M，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∴∠CEM=∠CAB=60°，∠CME=∠CBA=60°，
∴△CME是等邊三角形，
∴CE=CM=EM，∠EMC=60°，
∴AE=BM，
∵DA=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴∠BAC+∠DAB=∠C+∠EDM，
∴∠DAB=∠EDM，
∵∠ABD=180°-∠ABC=120°，∠EMD=180°-∠EMC=120°，
∴∠ABD=∠DME，
在△ABD和△DEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAB=∠EDM}\\{∠ABD=∠EMD}\\{AD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△DEM，
∴DB=EM=CM，
∴DB+AE=CM+BM=BC=AB．
如圖③中，結(jié)論：BD-AE=AB．
理由：作EM∥AB交BC于M，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∴∠CEM=∠CAB=60°，∠CME=∠CBA=60°，
∴△CME是等邊三角形，
∴CE=CM=EM，∠EMC=∠MEC=60°，
∴AE=BM，
∵DA=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴∠C+∠ADC=∠MEC+∠EDDEM，
∴∠ADB=∠DEM，
∵∠ABD=180°-∠ABC=120°，∠EMD=180°-∠EMC=120°，
∴∠ABD=∠DME，
在△ABD和△DEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠DEM}\\{∠ABD=∠EMD}\\{AD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△DME，
∴DB=EM=CM，
∴DB-AE=CM-BM=BC=AB．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，注意形變證明方法基本不變，屬于中考�？碱}型．