Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P為BC邊上一點(diǎn)（不與B，C重合），過點(diǎn)P作∠APE＝∠B，PE交CD 于E.

(1)求證:△APB∽△PEC;

(2)若CE＝3,求BP的長.

Answer 1

(1)證明:梯形ABCD中,∵AD∥BC,AB＝DC.

∴∠B＝∠C＝60°.                                       ……………1′

∵∠APC＝∠B＋∠BAP,

即∠APE＋∠EPC＝∠B＋∠BAP.

∵∠APE＝∠B,

∴∠BAP＝∠EPC.                                         ……………2′

∴△APB∽△PEC.                                         ……………3′

(2)過點(diǎn)A作AF∥CD交BC于F.

則四邊形ADCF為平行四邊形,△ABC為等邊三角形.            ……………4′

∴CF＝AD＝3,AB＝BF＝7－3＝4.

∵△APB∽△PEC,                                         ……………5′

∴＝,

設(shè)BP＝x,則PC＝7－x,又EC＝3, AB＝4,

∴＝                                            ……………6′

整理,得x²－7x＋12＝0.

解得    x₁＝3,  x₂＝4.                                   ……………7′

經(jīng)檢驗(yàn), x₁＝3,  x₂＝4是所列方程的根,

∴BP的長為3或4.                                       ……………8′