Question

已知凸四邊形ABCD中，AC⊥BD，作垂足E關(guān)于AB、BC、CD、DA的對稱點(diǎn)P、Q、R、S，求證：P、Q、R、S四點(diǎn)共圓．

Answer 1

考點(diǎn)：四點(diǎn)共圓,圓周角定理,鏡面對稱,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：易證△ES′R′∽△ESR，則有∠ES′R′=∠ESR，易證S′、D、R′、E四點(diǎn)共圓，則有∠ES′R′=∠EDR′，從而有∠ESR=∠EDR′；同理可得：∠ESP=∠EAP′，∠EQR=∠ECR′，∠EQP=∠EBP′，進(jìn)而可證到∠PSR+∠PQR=180°，則有P、Q、R、S四點(diǎn)共圓．

解答：證明：∵點(diǎn)E關(guān)于CD、DA的對稱點(diǎn)R、S，
∴

ER′

ER

=

ES′

ES

=

1

2

．
∵∠S′ER′=∠SER，
∴△ES′R′∽△ESR，
∴∠ES′R′=∠ESR．
∵點(diǎn)E關(guān)于CD、DA的對稱點(diǎn)R、S，
∴∠AS′E=∠DR′E=90°，
∴S′、D、R′、E四點(diǎn)共圓，
∴∠ES′R′=∠EDR′，
∴∠ESR=∠EDR′．
同理可得：∠ESP=∠EAP′，∠EQR=∠ECR′，∠EQP=∠EBP′，
∵AC⊥BD，
∴∠DEC=∠AEB=90°，
∴∠PSR+∠PQR=∠ESR+∠ESP+∠EQR+∠EQP
=∠EDR′+∠EAP′+∠ECR′+∠EBP′
=∠EDR′+∠ECR′+∠EAP′+∠EBP′
=180°-∠DEC+180°-∠AEB
=360°-90°-90°=180°，
∴P、Q、R、S四點(diǎn)共圓．

點(diǎn)評：本題主要考查了四點(diǎn)共圓的判定、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，本題用到判定四點(diǎn)共圓的方法是：若四個點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的對角互補(bǔ)或外角等于內(nèi)對角，則這四點(diǎn)共圓．