Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸正半軸上，AC∥x軸，點(diǎn)B、C的橫坐標(biāo)都是3，且BC=2，點(diǎn)D在AC上，若反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B、D．且AO：BC=3：2．
（1）求點(diǎn)D坐標(biāo)；
（2）將△AOD沿著OD折疊，設(shè)頂點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為A′，試判斷點(diǎn)A′是否恰好落在直線BD上，為什么？

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先根據(jù)AO：BC=3：2，BC=2得出OA的長，再根據(jù)點(diǎn)B、C的橫坐標(biāo)都是3可知BC∥AO，故可得出B點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象上可求出k的值，由AC∥x軸可設(shè)點(diǎn)D（t，3）代入反比例函數(shù)的解析式即可得出t的值，進(jìn)而得出D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)A′作EF∥OA交AC于E，交x軸于F，連接OA′，根據(jù)AC∥x軸可知∠A′ED=∠A′FO=90°，由相似三角形的判定定理得出△DEA′∽△A′FO，設(shè)A′（m，n），可得出

m

n

=

3-n

m-1

，再根據(jù)勾股定理可得出m²+n²=9，兩式聯(lián)立可得出m、n的值，故可得出A′的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出經(jīng)過點(diǎn)D（1，3），點(diǎn)B（3，1）的直線函數(shù)關(guān)系式為y=-x+4，再把x=

9

5

代入即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵AO：BC=3：2，BC=2，
∴OA=3，
∵點(diǎn)B、C的橫坐標(biāo)都是3，
∴BC∥AO，
∴B（3，1），
∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象上，
∴1=

k

3

，解得k=3，
∵AC∥x軸，
∴設(shè)點(diǎn)D（t，3），
∴3t=3，解得t=1，
∴D（1，3）；

（2）結(jié)論：點(diǎn)A′不在此反比例函數(shù)的圖象上．
理由：過點(diǎn)A′作EF∥OA交AC于E，交x軸于F，連接OA′（如圖所示），
∵AC∥x軸，
∴∠A′ED=∠A′FO=90°，
∵∠OA′D=90°，
∴∠A′DE=∠OA′F，
∴△DEA′∽△A′FO，
設(shè)A′（m，n），
∴

m

n

=

3-n

m-1

，
又∵在Rt△A′FO中，m²+n²=9，
∴m=

9

5

，n=

12

5

，即A′（

9

5

，

12

5

），
∵經(jīng)過點(diǎn)D（1，3），點(diǎn)B（3，1）的直線函數(shù)關(guān)系式為y=-x+4，
∴當(dāng)x=

9

5

時，y=-

9

5

+4=

11

5

≠

12

5

，
∴點(diǎn)A′不在直線BD上．

點(diǎn)評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)等知識，難度適中．