Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，D為AC的中點，過點C作CE⊥BD于點E，作∠GAB=∠CAB，CE的延長線與AG交于點F，點G在AF的延長線上，且FG=BD，連結(jié)BG、DF
（1）求證：
①BD∥AG；
②四邊形BGFD為菱形；
（2）已知AG=15，CF=3

7

，求菱形BGFD的邊長．

Answer 1

考點：菱形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）首先可判斷四邊形BDFG是平行四邊形，再由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，可得BD=FD，則可判斷四邊形BDFG是菱形；
（2）設(shè)GF=x，則AF=15-x，AC=2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值．

解答：解：（1）①∵∠ABC=90°，D為AC的中點，
∴BD=AD=DC，
∴∠CAB=∠DBA，
∵∠GAB=∠CAB，
∴∠GAB=∠DBA，
∴AG∥BD；

②∵AG∥BD，BD=FG，
∴四邊形BGFD是平行四邊形，
∵CE⊥BD，
∴CE⊥AG，
又∵BD為AC的中線，
∴BD=DF=

1

2

AC，
∴四邊形BDFG是菱形；

（2）設(shè)GF=x，則AF=15-x，AC=2x，
∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，
∴AF²+CF²=AC²，即（15-x）²+（3

7

）²=（2x）²，
解得：x=6，
∴菱形BGFD的邊長為6．

點評：本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理及直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是判斷出四邊形BGFD是菱形．