Question

13．如圖．在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，AE平分∠BAD交BC于E．若AB=2，AE=2$\sqrt{2}$，試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 由平行線的性質和已知條件得出∠D+∠C=180°，證出AD∥BC，得出四邊形ABCD是平行四邊形，由平行線的性質和已知條件得出∠BAE=∠AEB，證出BE=AB=2，由勾股定理的逆定理證出△ABE是直角三角形，∠B=90°，即可得出四邊形ABCD是矩形．

解答 解：四邊形ABCD是矩形；理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠B=∠D，
∴∠D+∠C=180°，
∴AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB=2，
∵AB²+BE²=2²+2²=8=（2$\sqrt{2}$）²=AE²，
∴△ABE是直角三角形，∠B=90°，
∴四邊形ABCD是矩形．

點評 本題考查了平行四邊形的判定、平行線的性質、矩形的判定、勾股定理的逆定理；熟練掌握矩形的判定方法，由勾股定理的逆定理證出∠B=90°是解決問題的關鍵．