Question

已知拋物線C₁的頂點(diǎn)為P（1，0），且過點(diǎn)（0，）．將拋物線C₁向下平移h個單位（h＞0）得到拋物線C₂．一條平行于x軸的直線與兩條拋物線交于A、B、C、D四點(diǎn)（如圖），且點(diǎn)A、C關(guān)于y軸對稱，直線AB與x軸的距離是m²（m＞0）．

（1）求拋物線C₁的解析式的一般形式；

（2）當(dāng)m=2時，求h的值；

（3）若拋物線C₁的對稱軸與直線AB交于點(diǎn)E，與拋物線C₂交于點(diǎn)F．求證：tan∠EDF﹣tan∠ECP=．

Answer 1

考點(diǎn)：

二次函數(shù)綜合題．

專題：

代數(shù)幾何綜合題．

分析：

（1）設(shè)拋物線C₁的頂點(diǎn)式形式y(tǒng)=a（x﹣1）²，（a≠0），然后把點(diǎn)（0，）代入求出a的值，再化為一般形式即可；

（2）先根據(jù)m的值求出直線AB與x軸的距離，從而得到點(diǎn)B、C的縱坐標(biāo)，然后利用拋物線解析式求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后根據(jù)平移的性質(zhì)設(shè)出拋物線C₂的解析式，再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求出h的值即可；

（3）先把直線AB與x軸的距離是m²代入拋物線C₁的解析式求出C的坐標(biāo)，從而求出CE，再表示出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對稱性表示出ED，根據(jù)平移的性質(zhì)設(shè)出拋物線C₂的解析式，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求出h的值，然后表示出EF，最后根據(jù)銳角的正切值等于對邊比鄰邊列式整理即可得證．

解答：

（1）解：設(shè)拋物線C₁的頂點(diǎn)式形式y(tǒng)=a（x﹣1）²，（a≠0），

∵拋物線過點(diǎn)（0，），

∴a（0﹣1）²=，

解得a=，

∴拋物線C₁的解析式為y=（x﹣1）²，

一般形式為y=x²﹣x+；

（2）解：當(dāng)m=2時，m²=4，

∵BC∥x軸，

∴點(diǎn)B、C的縱坐標(biāo)為4，

∴（x﹣1）²=4，

解得x₁=5，x₂=﹣3，

∴點(diǎn)B（﹣3，4），C（5，4），

∵點(diǎn)A、C關(guān)于y軸對稱，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣5，4），

設(shè)拋物線C₂的解析式為y=（x﹣1）²﹣h，

則（﹣5﹣1）²﹣h=4，

解得h=5；

（3）證明：∵直線AB與x軸的距離是m²，

∴點(diǎn)B、C的縱坐標(biāo)為m²，

∴（x﹣1）²=m²，

解得x₁=1+2m，x₂=1﹣2m，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1+2m，m²），

又∵拋物線C₁的對稱軸為直線x=1，

∴CE=1+2m﹣1=2m，

∵點(diǎn)A、C關(guān)于y軸對稱，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1﹣2m，m²），

∴AE=ED=1﹣（﹣1﹣2m）=2+2m，

設(shè)拋物線C₂的解析式為y=（x﹣1）²﹣h，

則（﹣1﹣2m﹣1）²﹣h=m²，

解得h=2m+1，

∴EF=h+m²=m²+2m+1，

∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=﹣=﹣=﹣=，

∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=．

點(diǎn)評：

本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象與結(jié)合變換，關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，銳角的正切的定義，（3）用m表示出相應(yīng)的線段是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．