(2005•南通)在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=kx+m(-≤k≤)經(jīng)過點A(,4),且與y軸相交于點C.點B在y軸上,O為坐標(biāo)原點,且OB=OA+7-2.記△ABC的面積為S.
(1)求m的取值范圍;
(2)求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式;
(3)設(shè)點B在y軸的正半軸上,當(dāng)S取得最大值時,將△ABC沿AC折疊得到△AB′C,求點B′的坐標(biāo).
【答案】分析:(1)根據(jù)點在直線上的意義可知k+m=4,k=1-m.因為,即.解得2≤m≤6.
(2)根據(jù)題意易得:OA=,OB=7.所以B點的坐標(biāo)為(0,7)或(0,-7).
直線y=kx+m與y軸的交點為C(0,m).
當(dāng)點B的坐標(biāo)是(0,7)時,由于C(0,m),2≤m≤6,故BC=7-m.所以S=•2•BC=(7-m);
當(dāng)點B的坐標(biāo)是(0,-7)時,由于C(0,m),2≤m≤6,故BC=7+m.所以S=•2•BC=(7+m).
(3)分別過點A、B′作y軸的垂線AD、B′E,垂足為D、E.
利用Rt△ACD中的關(guān)系:tan∠ACD=,得∠ACD=60°,∠ACB′=∠ACD=60°,CB′=BC=7-2=5,所以∠B′CE=180°-∠B′CB=60°.
再利用Rt△B'CE中的線段之間的關(guān)系可求得,CE=,B′E=.故OE=CE-OC=.所以點B′的坐標(biāo)為().
解答:解:(1)∵直線y=kx+m(-≤k≤)經(jīng)過點A(,4),
k+m=4,
∴k=1-m.
,∴
解得2≤m≤6.

(2)∵A的坐標(biāo)是(,4),∴OA=
又∵OB=OA+7-2,∴OB=7.∴B點的坐標(biāo)為(0,7)或(0,-7).
直線y=kx+m與y軸的交點為C(0,m).
①當(dāng)點B的坐標(biāo)是(0,7)時,由于C(0,m),2≤m≤6,故BC=7-m.
∴S=•2•BC=(7-m).
②當(dāng)點B的坐標(biāo)是(0,-7)時,由于C(0,m),2≤m≤6,故BC=7+m.
∴S=•2•BC=(7+m).

(3)當(dāng)m=2時,一次函數(shù)S=-+7取得最大值,這時C(0,2).
如圖,分別過點A、B′作y軸的垂線AD、B′E,垂足為D、E.
則AD=,CD=4-2=2.
在Rt△ACD中,tan∠ACD=,
∴∠ACD=60°.
由題意,得∠ACB′=∠ACD=60°,CB′=BC=7-2=5,
∴∠B′CE=180°-∠B′CB=60°.
在Rt△B′CE中,∠B′CE=60°,CB′=5,
∴CE=,B′E=
故OE=CE-OC=
∴點B′的坐標(biāo)為().
點評:主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用.解題的關(guān)鍵是會靈活的運用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點的意義求出相應(yīng)的線段的長度或表示線段的長度,再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解.
練習(xí)冊系列答案
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(1)求A1、P1兩點的坐標(biāo)(用含m的式子表示);
(2)求周長L與m之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出m的取值范圍.

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