Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC是弦，∠ABC的平分線BD交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，BD交AC于點(diǎn)F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若CE=1，ED=2，求⊙O的半徑和tan∠DBE的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，可證出OD∥BE，從而得出∠ODE=90°，即得出答案；
（2）設(shè)OD交AC于點(diǎn)M，可得出四邊形DMCE為矩形，設(shè)⊙O的半徑為x，根據(jù)勾股定理得出x，即為圓的半徑；有（1）可知DE是圓的切線，利用切割線定理和已知的數(shù)據(jù)可求出BE的長(zhǎng)，在直角三角形DEB中進(jìn)而求出tan∠DBE的值．
解答：解：（1）連接OD，
∠EBD=∠ABD，∠ABD=∠ODB，則∠EBD=∠ODB，
則OD∥BE，
∠ODE=∠DEB=90°，
DE是⊙O的切線；

（2）設(shè)OD交AC于點(diǎn)M，
∵OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE=90°，
∵∠DEC=90°，
∴四邊形DMCE是矩形，DM=EC=1，
AM=MC=DE=2，
設(shè)⊙O的半徑為x，得x²=2²+（x-1）²，
解得：，
∴⊙O的半徑為，
∵DE是圓的切線，
∴DE²=CE•BE，
∵CE=1，ED=2，
∴4=1×BE，
∴BE=4，
∴tan∠DBE===．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)和判定，勾股定理以及圓周角定理和銳角三角函數(shù)，是一道綜合題，難度不大．