Question

有一個直角三角形紙片BCE，設點A是斜邊BE上的一點，連接AC，現沿AC將紙片剪開，并將紙片ADE順時針旋轉擺放成圖2、圖3、或圖4的樣子．
（1）如圖2，當點A是中點，且DE∥BC時，求∠BAE的度數；
（2）如圖3，當點A是中點，但DE不平行于BC時，設M是DE的中點，連接AM交BC于點N，求證：∠ANB+∠BAE=180°；
（3）如圖4，當AB＜AE時，設M是DE上的一點，連接AM交BC于點N，若∠ANB+∠BAE=180°，那么點M在DE上的位置滿足什么條件？
（溫馨提示：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半）

Answer 1

分析：（1）根據性質推出AB=AE=AC，根據等腰三角形的性質推出∠B=∠ACB，∠E=∠ACE，根據平行線的性質和三角形的內角和定理求出即可；
（2）求出等腰三角形ADE，推出∠MAE=∠DAE=∠B即可；
（3）求出∠E+∠MAE=∠E+∠B=90°即可．

解答：解：（1）∵∠ECB=90°，A是BE的中點，
∴AB=AE=AC，
∴∠B=∠ACB，∠E=∠ACE，
∴∠B+∠ACE=90°，
∵DE∥BC，
∴∠AHB=∠E，
∴∠BAE=180°-90°=90°，
答：∠BAE的度數是90°．

（2）∵△ABN內角和180°，∠ANB和∠BAN是重合的，
在第二問中A是中點，在直角三角形中連斜邊中點得到的是兩個等腰三角形，
所以∠B=∠ACB=

1

2

∠DAE（因為∠DAE是原來的外角），
同時AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形，
中線就是垂線、角平分線，
所以∠MAE=∠DAE=∠B，
即∠ANB+∠BAE=180°．

（3）與（2）類似：同理∠B=∠MAE，同時∠E是原來直角三角形里的另一個銳角，就是∠B的余角，
所以∠E+∠MAE=∠E+∠B=90°
結論：M是A在DE上的垂足．

點評：本題主要考查對三角形的內角和定理，直角三角形斜邊上的中線，三角形的內角和定理，等腰三角形的性質和判定等知識點的理解和掌握，能正確運用選擇進行推理是解此題的關鍵．