Question

如圖，在△ABC中，D是AB中點，E和F分別是邊AC、BC上的點，且DE⊥DF，求證：S_△DEF＜S_△ADE+S_△BDF．

Answer 1

考點：旋轉的性質

專題：證明題

分析：先把△ADE繞D點旋轉180°到△BDG，如圖，連結GF，BG，根據(jù)旋轉的性質得DG=DE，S_△ADE=S_△BDG，則S_△ADE+S_△BDF=S_△BDG+S_△BDF=S_{四邊形BFDG}，
再證明∴S_△DEF=S_△DGF，然后利用S_△DGF＜S_{四邊形BFDG}即可得到S_△DEF＜S_△ADE+S_△BDF．

解答：證明：∵D是AB中點，
∴把△ADE繞D點旋轉180°到△BDG，如圖，連結GF，BG，
∴△ADE≌△BDG，
∴DG=DE，S_△ADE=S_△BDG，
∴S_△ADE+S_△BDF=S_△BDG+S_△BDF=S_{四邊形BFDG}，
∵DF⊥DE，DG=DE，
∴S_△DEF=S_△DGF，
而S_△DGF＜S_{四邊形BFDG}，
∴S_△DEF＜S_△ADE+S_△BDF．

點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．