Question

如圖，∠A=90°，BD是△ABC的角平分線，DE是BC的垂直平分線．
（1）若∠A=90°，求∠ABC和∠CDE的度數(shù)；
（2）若AC=9，△ADB的周長為15，求AB的長．

Answer 1

解：（1）∵BD是∠ABC的角平分線，
∴∠ABD=∠DBC，
又∵DE是BC的垂直平分線，
∴CD=DB，
∴∠C=∠DBC，
∴∠C=∠DBC=∠ABD，
又∵在Rt△ABC中，∠A=90°，且∠A+∠C+∠ABD+∠DBC=180°，
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，
又∵DE是BC的垂直平分線，
∴DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
又∵∠C=30°，∠C+∠DEC+∠CDE=180°，
∴∠CDE=60°；

（2）∵CD=DB，且△ADB周長為15，
∴AB+BD+AD=AB+CD+AD
=AC+AB
=15
又∵AC=9
∴AB=6
分析：（1）先由角平分線的性質得出∠ABD=∠DBC，再由線段垂直平分線的性質及等邊對等角得出∠C=∠DBC，根據(jù)直角三角形的性質得出∠C=30°，再由三角形內角和定理即可得出結論；
（2）由CD=DB且△ADB周長為15可得出AC+AB，根據(jù)AC=9即可求出AB的長．
點評：本題考查的是線段垂直平分線及角平分線的性質，解答此類題目時往往用到三角形的內角和是180°這一隱藏條件．