Question

已知如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D是斜邊AB的中點，連接CD，BE⊥CD于點E．AB=10，S_△ABC=24．
（1）求AC的長度；
（2）求BE的長度；
（3）連接AE，求△ADE的面積S_△ADE．

Answer 1

考點：勾股定理,直角三角形斜邊上的中線

專題：

分析：（1）在直角三角形ABC中，設(shè)AC=x，利用勾股定理表示出BC，再利用面積法求出x的值，即可確定出AC的長；
（2）由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出CD的長，且三角形BCD與三角形ACD面積相等，利用三角形面積公式即可求出BE的長；
（3）連接AE，三角形AED與三角形ACE面積之比即為DE與CE之比，在直角三角形BDE中，利用勾股定理求出DE的長，進而求出CE的長，求出面積之比，即可確定出三角形ADE面積．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，
設(shè)AC=x，根據(jù)勾股定理得：BC=

100-x2

，
∵S_△ABC=

1

2

AC•BC=24，
∴

1

2

x

100-x2

=24，
解得：x=6或x=8，
則AC=6或8；
（2）∵CD為Rt△ABC斜邊AB上的中線，
∴CD=

1

2

AB=5，△BCD與△ACD面積相等，都為12，
∴

1

2

CD•BE=12，即5BE=24，
解得：BE=4.8；
（3）∵BD=AD=CD=5，BE=4.8，
∴在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理得：DE=

52-4．82

=1.6，
∴CE=5-1.6=3.4，即DE：CE=8：17，
∴S_△ADE：S_△ACE=8：17，
∵S_△ADE+S_△ACE=12，
∴S_△ADE=

8

25

×12=

96

25

．

點評：此題考查了勾股定理，三角形面積求法，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．