Question

如圖，等腰直角△ABC的斜邊AB上有兩點M、N，且滿足MN²=BN²+AM²，將△ABC繞著C點順時針旋轉(zhuǎn)90°后，點M、N的對應點分別為T、S．
（1）請畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并證明△MCN≌△MCS；
（2）求∠MCN的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)點找出各點的對應點，順次連接即可得出旋轉(zhuǎn)后的圖形，根據(jù)MN²=BN²+AM²，可證得MS=MN，從而利用SSS可證得結(jié)論．
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角為90°，再由（1）的結(jié)論即可得出答案．

解答：解：所畫圖形如下所示：

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：CS=CN，AS=BN，
又MN²=BN²+AM²，
∴MN²=AS²+AM²=MS²，
∴MS=MN，
又CS=CN，CM=CM，
∴△MCN≌△MCS（SSS）．
（2）由（1）得：△MCN≌△MCS，
∴∠NCM=∠MCS=45°．

點評：本題考查旋轉(zhuǎn)作圖及三角形全等的證明，難度較大，關鍵是掌握旋轉(zhuǎn)前后線段的長度，角的度數(shù)均不變．